南方企业文化宣传网----文章编号:3230----加入日期:2011/8/23

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事件与概率

事件与概率
　　(一)随机现象
　　在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随机现象有两个特点:
　　(1)随机现象的结果至少有两个；
　　(2)至于哪一个出现，人们事先并不知道。
　　抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也并不知道。
　　〔例1.2-1]随机现象的例子:
　　(1)一天内进入某超市的顾客数；
　　(2)一顾客在超市中购买的商品数；
　　(3)一顾客在超市排队等候付款的时间；
　　(4)一颗麦穗上长着的麦粒个数；
　　(5)新产品在未来市场的占有率；
　　(6)一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；
　　(7)加工机械轴的直径尺寸；
　　(8)一罐午餐肉的重量。
　　随机现象在质量管理中到处可见。
　　认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是指今后的抽样单元，故又称样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。
　　“抛一枚硬币”的样本空间Ω={正面，反面}；
　　“掷一颗骰子”的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}；
　　“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间Ω={0，1，2，…}；
　　“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间Ω={t:t≥0}；
　　“测量某物理量的误差”的样本空间Ω={x:-∞<x<∞}。
　　(二)随机事件
　　随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示，如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A={1，3，5}。
　　1.随机事件的特征
　　从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征:
　　(1)任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间Ω，用其中一个圆(或其他几何图形)示意事件A，见1.2-1，这类图形称为维恩(Venn)图。
　　(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记ω1，ω2是Ω中的两个样本点(见图1.21):
　　当ω1发生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，则事件A发生；
　　当ω2发生，且ω2 A(表示ω2不在A中)，则事件A不发生。
　　(3)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明确无误的。
　　(4)任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件。
　　(5)任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。如掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件。
　　

　　[例1.2-2]若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。
　　Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
　　A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；
　　B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；
　　Ω=“至多有两件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；
　　φ=“有三件不合格品”。
　　现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间Ω含有23=8个样本点。
　　Ω={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}
　　下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
　　A=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7个样本点}；
　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7个样本点}；
　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；
　　C2=“恰有两件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；
　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；
　　C0=“没有一件是不合格品”={(0，0，0)}；
　　2.随机事件之间的关系
　　实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。
　　(1)包含:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为A B，或B A，这时事件A的发生必导致事件B发生，如图1.2-2所示。如掷一颗骰子，事件A=“出现4点”必导致事件B=“出现偶数点”的发生，故A B。显然，对任一事件A，有Ω A φ。
　　(2)互不相容:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1.2-3所示，如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，它们不可能同时发生。
　　两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容，例如在检查三个产品的例子(例1.2-2)中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有两件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“没有不合格品”是四个互不相容事件。
　　

　　(3)相等:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。如在掷两颗骰子的随机现象中，其样本点记为(x，y，其中x与y分别为第一与第二颗骰子出现的点数，定义如下两个事件:
　　A={(x，y):x+y=奇数}
　　B={(x，Y):x与y的奇偶性不同}可以验证A=B。
　　(三)事件的运算事件的运算有下列四种。
　　(1)对立事件，在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为 。图1.2-4上的阴影部分就表示A的对立事件 。可见 就是“A不发生”，例如在检查一匹布中，事件“至少有一个疵点”的对立事件是“没有疵点”。对立事件是相互的，A的对立事件是 ， 的对立事件必是A。特别，必然事件Ω与不可能事件φ互为对立事件，即 =φ， =Ω。
　　

　　(2)事件A与B的并，由事件A与B中所有样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为A与B的并，记为AUB。如图1.2-2所示。并事件A∪B发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。
　　(3)事件A与B的交，由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B或AB。如图1.2-6所示，交事件AB发生意味着“事件A与B同时发生”。
　　

事件的并和交可推广到更多个事件上去(见图1.2-7)。
　　

　　(4)事件A对B的差，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B。如图1.1-8所示。
　　

　　(四)概率——事件发生可能性大小的度量
　　随机事件的发生与否是带有偶然性的。但随机事件发生的可能性还是有大小之别，是可以设法度量的。而在生活、生产和经济活动中，人们很关心一个随机事件发生的可能性大小。例如:
　　(1)抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。足球裁判就是用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等。
　　(2)某厂试制成功一种新止痛片在未来市场的占有率是多少呢?市场占有率高，就应多生产，获得更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成积压，不仅影响资金周转，而且还要花钱去贮存与保管。
　　(3)购买彩券的中奖机会有多少呢?如1993年7月发行的青岛啤酒股票的认购券共出售287347740张，其中有180000张认购券会中签，中签率是万分之6.264(见1993年7月30日上海证券报)。
　　上述正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的废品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P(A)来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即:
　　P(φ)=0，P(Ω)=1
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