南方企业文化宣传网----文章编号:3231----加入日期:2011/8/23

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概率的古典定义与统计定义

概率的古典定义与统计定义
　　确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，相应于概率的两种定义，即古典定义及统计定义。
　　(一)古典定义
　　用概率的古典定义确定概率方法的要点如下:
　　(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；
　　(2)每个样本点出现的可能性是相同的(等可能性)；
　　(3)若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为:
　　

　　〔例1.2-3]掷两颗骰子，其样本点可用数对(x，y表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:
　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。
　　(1)定义事件A=“点数之和为2”={(1，1)}，它只含一个样本点，故P(A)=1/36。
　　(2)定义事件B=“点数之和为5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9。
　　(3)定义事件C=“点数之和超过9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6个样本点，故P(C)=6/36 =1/6。
　　(4)定义事件D=“点数之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12个样本点，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。
　　

　　用古典方法获得概率常需要排列与组合的公式。现概要介绍如下:
　　排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。
　　(1)乘法原理:如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mk种方法。
　　例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6条旅游线路。
　　(2)加法原理:如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法，在第二类方法中又有m2种完成方法，…，在第k类方法中又有mk种完成方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mk种方法。
　　例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。
　　(3)排列:从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n-1)×…×(n-r+1)个，记为P＇n。若r=n，称为全排列，全排列数共有n!个，记为Pn，即:
　　P＇n=n(n-1)…(n-r+1)，pn=n!
　　(4)重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有n＇个。注意，这里的r允许大于n。
　　例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为104。假如上述抽取不允许放回，列所得排列数为10×9×8×7=5040。
　　(5)组合:从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素并成一组(不考虑其间顺序)称为一个组合，此种组合数为:

规定0!=1，因而
　　

=1。
　　例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为:
　　

这是因为取出的4个产品的全排列有4!=24种。这24种排列在组合中只算一种。
　　〔例1.2-4]一批产品共有N个，其中不合格品有M个，现从中随机取出n个(n≤N)，问事件Am=“恰好有m个不合格品”的概率是多少?
　　从N个产品中随机抽取n个共有
　　

个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间Ω。其中“随机抽取”必导致这
　　

个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可作同样理解。下面我们先计算事件A0、A1的概率，然后计算一般事件Am的概率。
　　事件A0=“恰好有0个不合格品”=“全是合格品”。要使取出的n个产品全是合格品，那必须从该批中N-M个合格品中抽取，这有
　　

种取法。故事件A0的概率为
　　

事件A1=“恰好有1个不合格品”，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从M个不合格品中随机取出1个，共有
　　

种取法；第二步从NM个合格品中随机取出n-1个，共有
　　

种取法。依据乘法原则，事件A1共含
　　

个样本点。故事件A1的概率为:
　　

　　最后，要使事件Am发生，必须从M个不合格品中随机抽取m个，而从N-M个合格品中随机抽取n-m个。依据乘法原则，事件Am共含有  个样本点。故事件Am的概率是:
　　

其中r=min(n，M)是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n，也不可能超过不合格品总数M，即m≤n和m≤M。综合这两个不等式，可知m≤min(n，M)=r。
　　假如给定N=10，M=2和n=4，下面来计算诸事件Am的概率:
　　

　　而A3，A4等都是不可能事件。因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的。
　　[例1.2-5](放回抽样)抽样有两种形式:不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽下一个，这相当于n个同时取出。因此可不论其次序。放回抽样是抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件Bm=“恰好有m个不合格品”的概率。
　　从N个产品中每次随机抽取一个，检查后放回再抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有N种可能，故在放回抽样的问题中共有Nn种等可能的样本点。
　　事件B0=“全是合格品”发生必须从N-M个合格品中用放回抽样方式随机抽取n次，它共含有(N-M)n种取法，故事件B0的概率为:
　　

　　事件B1=“恰好有一件不合格品”发生，必须从N-M个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从M个不合格品中抽一次。这样就有M(N-M)n-1种取法。再考虑到不合格品出现次序(不合格品可能在第一次抽样出现，也可能在第二次抽样中出现，…，也可能在第n次抽样中出现)故B1所含样本点的个数共有nM(N-M)n-1。故事件B1的概率为:
　　

　　类似地，事件Bm共含有
　　

个样本点。其中组合数
　　

是由于考虑到m个不合格品在n次放回抽样中出现的次序所致，故Bm发生的概率为:
　　

特别，当m=n时，P(Bn)=(M/N)n。
　　假如给定N=10，M=2，n=4，在放回抽样场合来计算诸Bm的概率。先计算:
　　

这是在一次抽样中，抽出不合格品的概率；
　　

这是在一次抽样中，抽出合格品的概率。
　　于是诸Bm发生的概率为:
　　P(B0)=0.84=0.4096
　　P(B1)=4×0.2×0.83=0.4096
　　

　　P(B4)=0.24=0.0016
　　可见，在放回抽样中，B0和B1发生的可能性最大，而B4发生的可能性很小，B4在1000次中发生还不到二次。
　　(二)统计定义
　　用概率的统计定义确定概率方法的要点如下:
　　(1)与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；
　　(2)若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为:
　　

频率fn(A)确能反映事件A发生的可能性大小；
　　(3)频率fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去、只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率。
　　〔例1.2-6]说明频率稳定的例子
　　(1)为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5，许多人做了大量的重复试验，图1.2-10记录了前400次掷硬币试验中频率f(正面)的变化情况，在重复次数N较小时，f波动剧烈，随着N的增大，f波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.2-1)表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5。这个0.5就是频率的稳定值，也是正面出现的概率。这与用古典方法计算的概率是相同的。
　　(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.2-2。这项研究在计算机键盘设计(有方便的地方安排使用频率较高的字母健)、印刷铅字的铸造(使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码(使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是十分有用的。
文章来源：www.5s886.com

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