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条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性

条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性
　　(1)条件概率与概率的乘法法则
　　条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为:
　　

这表明:条件概率可用两个特定的(无条件)概率之商来计算，在举例说明之前，先导出概率的乘法公式。
　　性质6:对任意两个事件A与B，有:
　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)(1.2-4)
　　其中第一个等式成立要求P(B)>0，第二个等式成立要求P(A)>0。
　　[例1.2-10]设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件A含有其中15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，详见图1.2-11。由古典定义可知:
　　

　　于是在事件B发生的条件下，事件A的条件概率为:
　　

　　这个条件概率也可以这样来认识:当已知事件B发生，就意味着其对立事件 是不会发生了。即 中18个样本点可不予考虑，可能的情况是事件B中的7个样本点之一。可见事件B的发生把原来的样本空间Ω缩减为新的样本空间ΩB=B。这时事件A所含样本点在ΩB中所占比率为5/7。这与公式计算结果一致，这不是偶然的，任一条件概率都可这样解释。
　　类似地，利用这个解释，可得P(B|A)=5/15=1/3。
　　

　　[例1.2-11]表1.2-3给出乌龟的寿命表，记事件AX=“乌龟活到X岁”，从表中可以读出P(A20)=0.92，P(A80)=0.87等。
　　

　　现要寻求下列事件的条件概率:
　　①20岁的乌龟能活到80岁的概率是多少?
　　要求的概率是条件概率P(A80|A20)，按公式应为:
　　

　　由于活到80岁的乌龟一定要先活到20岁，这意味着A80 A20，从而交事件A20 A80=A80，故上述条件概率为:
　　

即100只活到20岁的乌龟中大约有95只能活到80岁。
　　②120岁的乌龟能活到200岁的概率是多少?类似有:
　　

即活到120岁的乌龟中大约有一半还能活到200岁。
　　这里谈论的是乌龟的寿命，假如我们能获得弹药的贮存寿命表，那么就可计算，存放10年的弹药再放5年仍完好的概率是多少?假如有一个国家或地区的人的寿命表，就可算得30岁的人能活到60岁的概率是多少?保险公司正是利用这个条件概率对30岁的投保人计算人身保险费率的。
　　(2)独立性和独立事件的概率
　　设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。
　　性质7:假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为:
　　P(AB)=P(A)P(B)(1.2-5)
　　性质8:假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。这是因为:
　　

　　〔例1.2-12]设实验室标本沾有污染的概率为0.15，如今有三个标本独立地在实验室制作，问三个标本都被污染的概率是多少?
　　解:设Ai=“第i个实验室标本被污染”，i=1，2，3。要求的概率为P(A1 A2 A3)，由于三个标本相互独立，所以:
　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=(0.15)3=0.003375 这个概率是很小的。
文章来源：www.5s886.com

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