南方企业文化宣传网----文章编号:3239----加入日期:2011/8/23

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二项分布

二项分布
　　我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:
　　(1)重复进行n次随机试验。例如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。
　　(2)n次试验间相互独立，即一次试验结果不对其他次试验结果产生影响。
　　(3)每次试验仅有两个可能结果，例如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。
　　(4)每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。
　　在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:
　　

　　

　　二项分布的均值、方差与标准差分别为:
　　E(X)=np
　　Var(X)=np(1-p)
　　

　　[例1.3-9]在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则X服从二项分布b(6，0.1)，简记为X～b(6，0.1)。现研究如下几个问题:
　　(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件X=1的概率为:
　　

这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543。类似可计算X=0，X=1，…，X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下:
　　

这里0.0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零，实际它的概率为P(X=6)=0.000001，并不恰为零。
　　还可以画出一张线条图(图1.3-7(a))来表示这个分布(7个概率)。图上的横坐标为X的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。譬如连抛六次硬币，其中正面出现次数X～b(6，0.5)。通过计算可画出其线条图(见图1.3-7(b))，此图是对称的，如P(X=2)=P(X=4)=0.2343。
　　

　　(2)不超过1个不合格品的概率为:
　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.5314+0.3543=0.8857
　　这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857。
　　在实际中经常要求形如“X≤x”的概率，在概率论中把事件“X≤x”的概率称为X的分布函数，记为F(x)，即:
　　F(x)=P(X≤x)
　　二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表1-1，此表可帮助我们计算，例如从附表1-1中可查得:
　　P(X≤1)=0.8857，P(X≤4)=0.9999
　　于是可算得:
　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤1)=0.9999-0.8857=0.1142
　　(3)二项分布b(6，0.1)的均值、方差与标准差分别为:
　　E(X)=np=6×0.1=0.6
　　Var(X)=np(1-p)=6×0.1×0.9=0.54
　　
文章来源：www.5s886.com

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