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随机样本与统计量

随机样本与统计量
　　在第一节中介绍了总体与样本这两个重要的统计概念，在第三节中又介绍了随机变量及其分布的概念。这些概念之间相互之间是有联系的，而要将它们表达清楚，又必须借用第二节中所引进的概率这个工具。
　　总体是人们研究对象的全体，它由个体所组成，当从总体中随机抽取一个个体进行观测时，所得的观测值随个体而异，因此总体对应于一个随机变量。这个随机变量的分布也就是总体的分布。因此统计中的总体与概率中的随机变量是对应的，通常用统一的记号，例如X，Y，…等来记。
　　再来讨论样本，一个样本量为n的样本是从总体中抽取的n个个体，这n个样本观测值x1，x2，…，xn可以看成为随机变量X的n次实现值。
　　人们从总体中抽取样本是为了认识总体，即从样本推断总体。如推断总体是什么类型的分布?推断总体均值为多少?推断总体的标准差是多少?为了使此种统计推断有所依据，推断结果有效，对样本的抽取应有所要求。
　　满足下面两个条件的样本称为简单随机样本，简称随机样本。
　　(1)随机性。总体中每个个体都有相同的机会入样。譬如，按随机性要求抽出5个样品，记为X1，X2，…，X5，则其中每一个都应与总体分布相同。这只要随机抽样就可保证此点实施。
　　(2)独立性。从总体中抽取的每个样品对其他样本的抽取无任何影响，假如总体是无限的，独立性容易实现；若总体很大，特别与样本量n相比是很大的，这时即使总体是有限的，此种抽样独立性也可得到基本保证。
　　综上两点，随机样本X1，X2，…，Xn可以看做n个相互独立的、同分布的随机变量，其分布与总体分布相同。今后的样本都是指满足这些要求的简单随机样本。在实际中抽样时，也应按此要求从总体中进行抽样。这样获得的样本能够很好地反映实际总体。图1.4-1显示两个不同的总体，图上用虚线画出的曲线是两个未知总体。若是按随机性和独立性要求进行抽样，则机会大的地方(概率密度值大)被抽出的样品就多；而机会少的地方(概率密度值小)，被抽出的样品就少。分布愈分散，样本也很分散；分布愈集中，样本也相对集中些。
　　

　　抽样切忌干扰，特别是人为干扰。某些人的倾向性会使所得样本不是简单随机样本，从而使最后的统计推断失效。
　　若X1，X2，…，Xn是从总体X中获得的样本，那么X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量。样本的观测值用x1，x2，…，xn表示，这也是我们常说的数据。有时为方便起见，不分大写与小写，样本及其观测值都用x1，x2，…，xn表示，今后就将采用这一方法表示。
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