南方企业文化宣传网----文章编号:3272----加入日期:2011/8/27

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单因子方差分析

单因子方差分析
　　设在一个试验中只考察一个因子A，它有，个水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用yi1，yi2…，yim表示，i=1，2，…，r。常常把数据列成如下表格形式:
　　记第i水平下的数据均值为 ，总的均值为 。此时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，
　　它们的差异可以用总离差平方和ST(离差平方和也简称为平方和，记为SS)表示:
　　

　　引起数据差异的原因不外如下两个:
　　一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子A的离差平方和:
　　

这里乘以m是因为在每一水平下进行了m次试验。
　　二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平外的其他所有原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内离差平方和表示:
　　

可以证明有如下平方和分解式:
　　ST=SA+Se
　　可以设想:当H0不真时，因子A引起的波动相对于误差来讲是比较大的，而当假设H0为真时，两者都可以看成都是由随机波动引起的，它们都可以作为误差方差的某种估计。由于两者所包含的误差的量有差别，所以为了进行比较，还需要将每个离差平方和除以各自的自由度。下面给出自由度的计算公式。ST、SA、Se的自由度分别用fT、fA、fe表示，他们也有分解式:
　　fT=fA+fe
　　其中，
　　fT=n-1=rm-1，fA=r-1，fe=fT-fA=r(m-1)
　　将因子或误差的离差平方和与相应的自由度之比，也即按自由度平均的离差平方和称为均方，并分别记为:
　　VA=SA/fA，Ve=Se/fe
　　当VA与Ve相差不大时，认为因子A不显著；而当VA相对于Ve大得多时，认为A是显著的。这一比较可以用两者的比(也称为F比)表示，记为:
　　F=VA/Ve当F>F1-α(fA，fe)时认为因子A在显著性水平α上是显著的，其中F1-α(fA，fe)是自由度为fA，fe的F分布的1-α分位数。F分布的分位数表见附表1-6。
　　以上求F比值的过程往往列成一张方差分析表，见表2.1-3。
　　

　　在以上计算中，关键是计算各个离差平方和，在计算时运用以下的等式是很有帮助的:
　　

　　其中Ti是第i个水平数据的和，T表示所有n=rm个数据的总和。
　　综上，方差分析的一般步骤如下:
　　(1)计算因子A的每一水平下数据的和T1，T2，…，Tr及总和T；
　　(2)计算各类数据的平方和∑∑y2ij，∑T2i，T2；
　　(3)依次计算ST，SA，Se；
　　(4)计算各均方及F比值并列出方差分析表；
　　(5)对于给定的显著性水平α，将求得的F值与F分布表中的F1-α(fA，fe)比较，当F>F1-α(fA，fe)时认为因子A是显著的，否则认为因子A是不显著的。
　　下面对〔例2.1-1]的数据进行分析。
　　(1)计算各类和:
　　每一水平下的数据和依次为:T1=412，T2=444，T3=344 数据的总和为T=1200
　　(2)计算各类平方和；
　　所有原始数据的平方和为:∑∑y2ij=121 492 各水平下数据和的平方和为:∑T2i=485 216
　　(3)计算各离差平方和:
　　ST=121 492-1 2002/12=1 492，fT=3×4-1=11
　　SA=485216/4-1 2002/12=1 304，fA=3-1=2
　　Se=1 492-1304=188，fe=11-2=9
　　(4)列方差分析表:
　　

　　(5)结论:
　　①如果给定α=0.05，则1-α=0.95，从F分布表查得F0.95(2，9)=4.26，由于F>4.26，所以在α=0.05水平上我们的结论是因子A是显著的(实际上，由于F也大于F0.99(2.9)=8.02，因此在α=0.01水平上，因子A也是显著的!)。这表明不同的工厂生产的零件平均强度有明显的差异。
　　②当因子A显著时，还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的场合，第i个水平指标均值的估计为:
　　 = ，i=1，2，…，r
　　在本例中，3个工厂生产的零件的平均强度的估计分别为:
　　 1=103， 2=111， 3=86

　　图2.1-2是各水平平均强度估计的直观表示。由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提高零件的强度。
　　

　　③前面提到，即使是同一个工厂，生产的零件强度也是有波动的，若波动用方差度量，则通过数据分析还可以给出误差方差的估计，这里方差σ2的估计是Ve。在本例中σ2的估计是20.9，而标准差σ的估计是 =4.57。
　　若在每一水平下试验次数不同，假定在Ai水平下进行了mi次试验，那么方差分析仍可进行，只是在计算中有两个主要改动:
　　一是此时n=∑mi；二是SA的计算公式改为:
　　

　　[例2.1-2]某型号化油器原中小喉管的结构使油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如表2.1-5所列，试问中小喉管的结构(记为因子A)对平均比油耗的影响是否显著。(这里假定每一种结构下的比油耗服从等方差的正态分布)
　　

　　现在对这批数据作方差分析(为简化计算起见，这里所有数据均减去220，这不影响离差平方和、均方以及F比的计算，因此也不会影响最后因子的显著性)。
　　(1)各水平下的试验次数及数据和分别为:
　　A1:m1=8，T1=69.5
　　A2:m2=4，T2=6.0
　　A3:m3=4，T3=15.4
　　总的试验次数n=16，数据的总和为:T=90.9
　　(2)计算各类平方和:
　　∑∑y2ij=757.41，∑T2i/mi=672.07，T2/n=516.3
　　(3)计算各离差平方和:
　　ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15
　　SA=672.07-516.43=155.64，fA=3-1=2
　　Se=240.98-155.64=85.34，fe=15-2=13
　　(4)列方差分析表:
　　

　　(5)结论:
　　①设α=0.05，从F分布表查得F0.95(2，13)=3.81，由于求得的F>3.81，所以在α=0.05水平上我们的结论是因子A是显著的。这表明不同的中小喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显的差异。
　　②我们还可以给出不同结构生产的化油器的平均比油耗的估计:
　　 1=8.69+220=228.69， =1.50+220=221.50， =3.85+220=223.85 这里加上220是因为在原数据中减去了220的缘故。由此可见，从比油耗的角度看，两种改进结构都比原来的好，特别是改进结构1。
　　③在本例中误差方差的估计为6.56，标准差的估计为2.56。
文章来源：www.5s886.com

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