南方企业文化宣传网----文章编号:3288----加入日期:2011/8/27

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无交互作用的正交设计与数据分析-数据分析

数据分析
　　在〔例2.3-1]中考虑了三个三水平因子，其所有不同的试验条件共有27个，现在仅做了其中的9个。试验的目的是想找出哪些因子对指标是有明显影响的，各个因子的什么样的水平组合可以使指标达到最大。这可以利用正交表的特点进行数据分析。仍然结合〔例2.3-1]进行叙述。

　　1.数据的直观分析
　　(1)寻找最好的试验条件
　　首先我们来看第一列，该列中的1，2，3分别表示因子A的三个水平，按水平号将数据分为三组:“1”对应{y1，y2，y3}，“2”对应{y4，y5，y6}，“3”对应{y7，y8，y9}。
　　“1”对应的三个试验都采用因子A的一水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为:
　　T1=y1+y2+y3=160+215+180=555， =T1/3=185 “2”对应的三个试验都采用因子A的二水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为:
　　T2=y4十y5+y6=168+236+190=594， =T2/3=198 “3”对应的三个试验都采用因子A的三水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为:
　　T3=y7+y8+y9=157+205+140=502， =T3/3=167.3由以上可知， 、 、 之间的差异只反映了A的三个水平间的差异，因为这三组试验条件除了因子A的水平有差异外，因子B与C的条件是一致的，所以可以通过比较这三个平均值的大小看出因子A的水平的好坏。从这三个数据可知因子A的二水平最好，因为其指标均值最大。这种比较方法称为“综合比较”。以上计算都列在表2.3-4的下方。
　　同理可看第二列与第三列，按其中的1，2，3分别将数据分为三组，计算各自的数据和与平均，它们也都列在表2.3-4的下方。由此可知，因子B取二水平好，因子C取三水平好。
　　综上可知使指标达到最大的条件是A2 B2 C3，即充磁量取1100×10-4特，定位角度取11度，定子线圈取90匝可以使输出力矩达到最大。
　　(2)各因子对指标影响程度大小的分析
　　这可从各个因子的“极差”来看，这里指的一个因子的极差是该因子不同水平对应的试验结果均值的最大值与最小值的差，因为该值大的话，则改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，影响就小。
　　在本例中因子A的极差为:
　　RA=198-167.3=30.7
　　对因子B、C可同样计算，它们被置于表2.3-4的最下面一行。从三个因子的极差可知因子B的影响最大，其次是因子A，而因子C的影响最小。
　　(3)各因子不同水平对指标的影响图
　　为直观起见，可以将每个因子不同水平下试验结果的均值画成一张图，〔例2.3-1]的图见图2.3-2，从图上可以明显看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出各个因子对指标影响的大小，RB>RA>RC。
　　

　　2.数据的方差分析
　　在数据的直观分析中是通过极差的大小来评价各个因子对指标影响的大小，那么极差要小到什么程度可以认为该因子水平变化对指标值已经没有显著的差别了呢?为回答这一问题，需要对数据进行方差分析。
　　在方差分析中，我们假定每一试验是独立进行的，每一试验条件下的试验指标服从正态分布，这些分布的均值与试验的条件有关，可能不等，但它们的方差是相等的。
　　(1)(离差)平方和分解
　　为进行方差分析，从试验结果出发。由于试验条件的不同与试验中存在误差，因此各试验结果不同，我们可以用总离差平方和ST去描述数据的总波动:
　　

其中n是试验次数， 是试验结果的总平均，若记T= yi，则 =T/n。
　　造成数据波动的原因可能是因子所取水平的不同，也可能是试验误差，当然也可能两者都有。为此要把由各个原因造成的波动分别用数量来表示。
　　先来看由于因子A的水平不同所引起的数据波动的度量。仍用 、 、 表示其三个水平下的试验结果的平均，用 表示试验结果的总平均。我们考虑 、 、 与 的离差平方和，记为SA:
　　

这里乘以3是因为每一水平重复进行了三次试验。SA除了误差外只反映因子A的水平间的差异，即由于因子A的水平不同所引起的试验结果的波动，因此称其为因子A的离差平方和。由于这里的 、 、 是第1列的3个数字分别对应的试验结果的平均值，因此(2.3-3)式也可以看成是第1列的离差平方和，记为S1。因为因子A置于第1列，故SA=S1。
　　同理可以计算其他各列的离差平方和。
　　由于因子B、C分别置于第2、3列，故有SB=S2，SC=S3。
　　第四列上没有置因子，称为空白列。S4仅仅反映了由误差造成的数据波动，称它为误差的离差平方和，记为Se，即:
　　Se=S4
　　用代数方法可以证明，在L9(34)中总离差平方和与各列的离差平方和间有如下关系:
　　ST=S1+S2+S3+S4
　　对一般的正交表来讲，只要其行数n、列数p与水平数q满足(2.3-1)式，则有:
　　ST=S1+S2+…+Sp(2.3-4)
　　称(2.3-4)为(离差)平方和的分解式。
　　(2)F比
　　与方差分析类似，称离差平方和与自由度的比为均方，用因子的均方与误差的均方进行比较，当F因=V因/Ve>F1-α(f因，fe)时，认为在显著性水平α上因子是显著的，其中V因，f因分别是因子的均方与自由度，Ve，fe分别是误差的均方与自由度。
　　为此需要给出因子与误差的自由度。同方差分析中所述，一个因子的自由度是其水平数-1，在正交设计中因子是置于正交表的列上，为叙述方便，也称正交表一列的自由度为其水平数-1，即q-1，因子的自由度与所在列的自由度应该相等。而误差的离差平方和为正交表上空白列的离差平方和相加而得，其自由度为正交表上空白列的自由度相加。总离差平方和的自由度是试验次数-1，即n-1。当正交表中行数n、列数p与水平数q满足(2.3-1)式时，对离差平方和有关系式(2.34)，同样对自由度也有相应关系式:
　　fT=f1+f2+…+fp这里fT=n-1，也称它为正交表的自由度，fj是第j列的自由度。
　　(3)计算
　　通常也用列表的方法计算各列的离差平方和(见表2.3-5)。
　　通过代数运算，可以用下式计算一列的离差平方和与总离差平方和:
　　
　　利用(2.3-4)式可以验证你的离差平方和计算是否正确。
　　对于F比的计算通常列成一张方差分析表(见表2.3-6)。
　　
　　由于FA大于F0.90(2，2)=9.0，FB大于F0.95(2，2)=19.0，因此因子A与B在显著性水平0.10与0.05上都是显著的，而因子C不显著。
　　
3.最佳条件的选择
　　对显著因子应该选择其最好的水平，因为其水平变化会造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平，实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选择。
　　在〔例2.3-1]中因子A与B是显著的，所以要选择其最好的水平，按前所述，应取A2 B2；对因子C可以选任意水平，譬如为了节约材料可选C1。将此最佳条件记为A2 B2或A2 B2 C，由于C不显著，故可不写，若写的话，无下标，表示可根据节省时间、节约消耗等实际情况取三个水平中某一个。
　　4.因子的贡献率
　　当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不够充足，此时可以通过比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。
　　由于S因中除了因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因Ve为因子的纯离差平方和，称因子的纯离差平方和与ST的比为因子的贡献率。而称fTVe/ST为误差的贡献率。在[例2.3 1]中因子与误差的贡献率如表2.3-7所示。
　　

　　从表中可知，因子B最重要，它的水平变化引起的数据波动在总的离差平方和中占了72.80%其次是因子A，而因子C的水平变化引起的数据波动还不及误差引起的数据波动的贡献率大，所以因子C可以认为不重要。
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